電気電子設計(中級)/交流理論(基礎1)

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交流理論(基礎1) †

■ページ内リンク
1.交流理論(基礎1)前書き
2.交流理論(受動素子)
2-1.受動素子”抵抗R”のふるまい
2-2.受動素子”コンデンサC”のふるまい
2-3.受動素子”インダクタL”のふるまい
2-4.受動素子”R,C,Lの交流オームの法則
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1.交流理論(基礎1)前書き †

■交流の定義
今まで電気電子設計偏(”初級”と入れられませんでしたが初級です)では、主に直流しか扱ってこなかったのですが、それだと時間変化したときの回路挙動がいまいち掴めないです。
難しいトラブルの要因としては例えデジタル回路であったとしてもほぼアナログ要素で起こります。
微妙な過渡現象の理解にはどうしても交流理論の理解が必須となります。

・本稿”交流”の定義本稿では”交流”を時間変化*1があるものと定義することにします。（厳密性を欠いていますがわかりやすい定義を優先）

交流電圧：時間変化する電圧
交流電力：時間変化する電圧源に係わる電力
交流電流：時間変化する電圧によってもたらされる電流＊2
（*2本当は、電流はもともと時間変化の物理量ですから交流においても単に”電流”ですけどいったんこのようにします）

'*1(本来の交流とは、正負にまたがって振れ幅を持つ物理量です)

2.交流理論(受動素子) †

■受動素子(R,C,L)のふるまい
ここでは受動素子R,C,Lの交流でのふるまいを説明していきたいと思います。

2-1.受動素子”抵抗R”のふるまい †

まず抵抗Rです。
おさらいのために基本回路を下記に載せます。
電圧Vが直流として有名なオームの法則”V =R I”が成り立ちます。~

図1-1.基本回路1

少しおさらいしたい方は下記リンクから飛んでください。

>電気電子設計/回路基礎へ飛びます。項目1参照ください。

これの電圧源Vが交流電源だったらどうでしょうか？

図1-2.基本回路2

Vac = R I

はい、VとIの関係性は変わりません。
純抵抗(理想抵抗)は時間変化する電圧源に対し、影響を時間変化する特性を持ちません。
（もちろん１V->2Vになったら２Vでオームの法則を考える必要はあります）

いきなり交流電源が出てきてしまいましたが、これは下記のようなものとします。

図1-4.Vacの式

sinカーブで”繰り返し”時間変化する電源です。
角周波数での記述式が①、周波数での記述が②で、両者は2πf＝ω　という関係があります。
意味はありますが、ここでは、周波数fに換算係数2πをかけると角周波数ωという単位になるだけという理解でも全然問題ありません。

1秒間に50回転 = 50 [Hz] なら　2×π×50＝ω  [rad/s] でこれを計算すると、1秒間に314[rad] (回転数ではなくて角度の単位)に置き換えられるといっているだけです。

くどく言いますが、radと耳慣れない単位を聞くと、すぐ”理解できない”という人がいます。
では、”mm”を”inch” に変えてください、と言われたらどうでしょうか？
大抵の人は、”詳しくはわからないが、換算すればでてくるよね？”というだけではないでしょうか？
このように数え方の尺度を変えているだけですので、”理解できるかできないか”の問題ではなく、単に”慣れ”の問題です。

さて関東にお住みの方として、家庭用の１００Vac電源はどのような式で表されるでしょうか？
50Hzだということはよく知られていますが下記のようになります。

図1-5.家庭用電源Vac式

ここでなぜ141.4Vというのがでてきたのか？疑問に思われる方がいるかもしれません。
これには"実効値"という概念の理解が必要となります。

Vrms(実効値) =Vmax(最大値) / √2  (電力系では単に"V"と記述するとVrmsのことを示すことが多いです。)

そうです、家庭用の100Vというのは厳密にはVrmsのことだったのです。
実効値についてもっとよく知りたい方は下記リンク先を参照願います。

>実効値の説明

というわけで寄り道しましたが、抵抗Rについては、特段配慮がいらず、オームの法則が適用できます。

図1-8.抵抗Rの交流オームの法則

2-2.受動素子”コンデンサC”のふるまい †

前項2-2で抵抗Rは、直流、交流ともに同じ扱いでよいことがわかりました。
コンデンサCについて考えていきます。
Cについては、直流と交流の考え方を少し変える必要がありますので、ここからが本番といえます。

・コンデンサとは？
コンデンサとは、下図のように平衡平面電極を思い浮かべてもらえばわかりやすいでしょう。
一応本稿"中級基礎"では電流は流れない(電極間で電子の移動はない)としますが、電流は流れたとみなします。
それは、電極に電荷がある程度溜まるまでは、回路として電子の移動が起こるからです。
一秒あたりに流れる電荷量(電子の粒粒の電気量総量) C/sec = I (電流)　なのでそうみなしてもよいですね。

図2-2-1.コンデンサCのモデル
電子はマイナス電荷なので実態はマイナスです。”ある程度”溜まると、お互い斥力がありますからこれ以上押せなくなって止まります。
電源Vは”電子を押す”力でしたね。
電源Vが一定のVdcならそれと拮抗する斥力になったら電流の流れは止まります。
これがコンデンサの容量とよばれるものですね。

図2-2-2.コンデンサCのモデル2

なのでどうしても過渡的に考える必要があって、Vdcとしてもスイッチがあると、オンした瞬間は電流Iが流れるはずです。
その後ある程度電荷が溜まると流れなくなります。

図2-2-3.コンデンサCの過渡現象モデル1

上図2-2-3.をもう少し続けてみます。途中Cの電荷を抜く目的で抵抗を取り付けます。(下図①->⑥)
電荷と電流の流れる向きは逆です。昔の偉い人が間違えたからです。

図2-2-4.コンデンサCの過渡現象モデル2
SWの入り切りで疑似的にACをつくりましたが、次にVacを使って本格的に交流を考えます。
上図のように、コンデンサへは電荷の流れ込み、流れ出しがあるから、V = R Iというような関係式で表すことができないと想定されます。
しかしあくまで我々はV = R Iのような関係式をゴールとしたいのです。
その方が楽ですので。

図2-2-5.コンデンサCの過渡現象モデル3
・コンデンサ基本式ここで下記関係式を導入します。これはそういうものと思ってください。

Q = C V  (Q電荷は与えた電圧の大きさに比例する。比例定数C＝容量 単位はFrad)---⑤
Qaki(くゎき)はC(スィー)V(ヴｨ)｛柿は渋い｝と覚えます。

Ｖは、電子の粒粒を押す力です。この力が強ければ強いほど、蓄えられる電荷Q[単位はC(クーロンと読みます)]は大きくなるという意味です。
この式から、V = 〇 Iとなるような関係式を導き、〇に相当する物理量を求めます。

図2-2-6.V = 〇 I　で〇に相当する物理量の導出

求められました。

ここでπ/2 というのは、サイン波1回転360°が2πラジアン（ただの定義です）ですから90°に相当します。
繰り返しの波ですからπ/2時間経過すると、VはもともとのIの線に重なります(大きさ無視とします)が、このずれの程度を位相差といいます。
時刻tにおける1サイクルの内の角度を単に位相といいます。
今回、Iは、Vに対して π/2 位相が進んでいる、という言い方をします。

さて、最後にこの位相ずれを数式の中に盛り込みたいです。
三角関数が出てくると微分がややこしくなるので、なるべく”四則演算”ですませる妙案はないでしょうか？
サイン波の性質について考察し、位相とはいったいなんなのかその本質をみていきます。

図2-2-7.サイン波の本質　考察

つまり、sin波の位相とはベクトルに"2乗して-1になるもの"を、かけていけば表現ができるのです。

これを虚数iとしましょう。

i × i = -1  ---⑥

これでV =〇I と完璧に表現できる素地ができましたので式を導出します。

図2-2-7.交流コンデンサ　オームの法則

2-3.受動素子"インダクタL”のふるまい †

最後にインダクタLについて同じように交流オームの法則を導き出します。
コンデンサのときと同じように、直流と同じV=〇Iというような関係式でかける〇を探求します。
その前にインダクタとはなにかをおさらいしておきましょう。

・インダクタとは？インダクタとは、絵図のごとくコイルです。
性質と基本式を下記に示しました。

・基本式

V = - L ×(di/dt)  (電圧は電流iの時間変化に比例する。比例定数はL:"インダクタンス"という)---⑧

図2-3-1.インダクタLの基本式と動作

インダクタンスは、押せば、返し、引けば、引っ張る、という究極の現状維持素子と思っていただいて構いません。
人間にもそういう人はいるかもしれません。

これからV=〇Iというような関係式を求めましょう。
しかしすでにdi/dtというヒントがでているのでここまで読み進められた人には楽勝ですね。
2-2項のコンデンサの時のように、下記手順で求めればいいですね。

①基本式から出発。今回はV= - di/dt
②時間で微分か積分式にする。
③電源Vを交流化（Asinωtに置き換え)
④微分か積分をしていったんBcosωtのような形にする。
⑤公式 cosωt = sin(ωt + π/2) を使って元の電源VからIが90°ずれてるんでしょう...と思う。
⑥ずれ方によってIかVに虚数jをかける。（90°進み、という意味）、つまり進んだ方がjをかけられる対象ですね。
⑦V=〇Iの関係式の完成

さぁ①~⑦をいっきにきますよ。

図2-3-2.インダクタLの基本式 V=〇Iの関係式導出

ということで、これで受動素子R,C,Lの交流でのふるまいがすべてわかったことになります。

2-4.受動素子R,C,Lの交流オームの法則 †

前項2-1.2-2,2-3にて交流オームの法則を３つの主要受動素子について説明してきました。
これをまとめて下記に示します。

図2-4-1.R,C,L 交流オームの法則まとめ

ここで④、⑦、⑨はすべてV = 〇 Iというごく簡単な比例式で表されることがわかりましたね。

つまり〇に関しては⑦、⑨は④とは表記記号が違うだけで、④と何ら変わらない計算をしてもよいことになりますね。

図2-4-2.R,C,L 計算式

３つの〇に相当する物理量を総称してZとするとまとめて関係式を記述することができます。

・オームの法則　交流拡張版

V = ZI　　あるいは1/Zとして　YV = I ------⑩

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