熱伝導方程式

今日の9件

counter: 516
today: 1
yesterday: 0
online: 1

$\displaystyle\frac{\partial\,u}{\partial\,t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}$ ①

(u:温度(deg)、t:時刻(sec)、x:位置(m)、a:温度伝導率( $m^{2}/sec$ ))

(i)フーリエの熱伝導法則

熱量は温度の高い方から低い方へ、その温度分布の勾配に比例して流れる。

(ii)熱量の変化分

$\Delta\,Q=m\cdot\,c\cdot\Delta\,u$

$\Delta\,Q$ :熱量の変化分(J)、m:質量(kg)、c:比熱(J/kg deg)

$\Delta\,u$ :温度の変化分(deg)

(iii)関数の第一次近似公式

$g(x+\Delta\,x)-g(x)$ ≒ $\Delta\,x\cdot\,g^{\prime}(x)$

熱量の変化分(S:断面積、k:熱伝導率)

流入量 $\displaystyle\Delta\,Q_{1}=kS\Delta\,t(\frac{\partial\,u}{\partial\,x})_{x+\Delta\,x}\cdots(a)$

流出量 $\displaystyle\Delta\,Q_{2}=kS\Delta\,t(\frac{\partial\,u}{\partial\,x})_{x}\cdots(b)$

よって

実質的な熱量の変化は $\Delta\,Q=\Delta\,Q_{1}-\Delta\,Q_{2}$

関数の第一次近似から $\displaystyle\Delta\,Q=kS\Delta\,t\Delta\,x\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}\cdots(c)$

$(ii)$ の公式より $\displaystyle\Delta\,Q=mc\Delta\,u=S\Delta\,x\rho\,c\Delta\,u=S\Delta\,t\Delta\,x\rho\,c\frac{\partial\,u}{\partial\,t}\cdots(d):(m=V\rho=S\Delta\,x\rho)$

(c)(d)より

$S\displaystyle\Delta\,t\Delta\,x\rho\,c\frac{\partial\,u}{\partial\,t}=kS\Delta\,t\Delta\,x\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}$

$\displaystyle\frac{\partial\,u}{\partial\,t}=\frac{k}{\rho\,c}\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}$ より①を得る

今日の10件

counter: 516
today: 1
yesterday: 0
online: 1

最新の20件

今日の9件

最新の20件

今日の10件