調和関数とラプラス方程式

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三次元で湧き出しの無いスカラーポテンシャル式を調べてみようかと思います。

位置ベクトルP=[x,y,z]のとき、ノルム $p=||P||=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ のグラディエントは
$\nabla\,p=\frac{P}{p}$

ノルムのべき乗に関するグラディエント
$\nabla\,p^{n}=(p^{n})'\cdot\nabla\,p=np^{n-1}\frac{P}{p}=np^{n-2}P$

試行として、n=-1 つまり $p^{-1}$ のスカラーポテンシャルのベクトル場は

$(grad(p^{-1})=-1\cdot\,p^{-3}P)$

発散に関する式
$divP=\frac{\partial\,x}{\partial\,x}+\frac{\partial\,y}{\partial\,y}+\frac{\partial\,z}{\partial\,z}=3$

$div(p^{n}P)=(\nabla\,p^{n})\cdot\,P+p^{n}(divP)=np^{n-1}\frac{P}{p}+3p^{n}=(n+3)p^{n}$

(n=-3 とした時、発散は $(-3+3)p^{-3}=0$ と成りますね。)

先程試行したベクトル場の発散は

$div(-1\cdot\,p^{-3}P)=-1\cdot\,div(p^{-3}P)=-1\cdot\,0=0$

と成り、 $p^{-1}$ は湧き出しの無いスカラーポテンシャルの一つと言えますが…

式では納得出来ますがイメージしにくいです。

L := (x^2+y^2+z^2) l := sqrt(L) field := plot::VectorField3d([x/(L*l), y/(L*l), z/(L*l)], x=-100..100, y=-100..100, z=-100..100, Mesh = [10, 10, 10]): plot(field):

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