統計力学
任意の次元の超立方と超球の体積について、以下のような式が成り立つとする。
Cnは三次元の場合は、二次元は、一次元は1
このCnをあるn重積分から引き出して一般化する。
ガウス積分の公式 から
となる。
また極座標に変換して解くと、
Snは表面積なので、 から
変数変換 を行う
ガンマ関数 から
以上より、
よってN次元球の体積は
.