ケーブルパルサー

同軸線とエネルギー輸送

ケーブルパルサー †

ケーブルにあらかじめV０で充電しておいてスイッチを入れると高速立ち上がりのパルサーになります。 負荷は特性インピーダンスに一致しているので反射はありません。

この時、負荷には何ボルトの電圧がかかりパルス幅はいくらになるでしょうか？

多くの人が充電電圧がそのまま負荷にかかると考えることでしょう。
しかし、電磁場のエネルギーを輸送するにはポインティングベクトルが形成されなければなりません。
電場として蓄えられた充電エネルギーはポインティングベクトルを形成するのに必要な電場のエネルギー、磁場のエネルギー、抵抗で消費されたエネルギーに分解されます。

スイッチを入れて Δt だけ時間が経った後のスナップショットを思い浮かべましょう。 スイッチを入れたという情報を伝える波すなわち電磁波は cΔtの距離だけ伝搬できます。影響を受けた cΔt　の範囲のエネルギー保存を考えます。

抵抗にかかる電圧をVとすると Δt の間に消費されるエネルギーは VI = V^2/Z0 Δt です。 一方、同軸線内に存在するエネルギーは同軸線の単位長さ当たりの容量をC0, インダクタンスをL0 とすると 1/2C0 (cΔt)V^2 + 1/2L0 (cΔt) I^2です。 よってエネルギー保存の式は

です。一項目は長さ cΔt に電場として蓄えられていた充電エネルギーです。これからV は1/2V0 であることがわかります。

もう少し、スマートな考え方があります。充電されているときは両端は開放です。 今、仮に電圧 1/2V0、電流1/2V0/Z0 の電磁波が右向きに伝搬しているとしましょう。 右端で反射され反射波は開放なので電流が反転して電圧 1/2V0 , 電流-1/2V0/Z0の電磁波が反対に走ります。両方の電磁波を足すと電圧V0電流0になります。

今、下図のa)に見られるような右向きの電磁波と左向きの電磁波が環を描くように回る状態を考えてみましょう。 開放端の反射条件を満たし、エネルギーの正味の移動はありません。この状態と静止した充電状態との区別はつきません。

そこで、充電された状態は右向きの電磁波と左向きの電磁波が同軸線内を伝搬していると見なします。 スイッチをいれた瞬間にインピーダンスマッチングがとれるので右向きの電磁波は抵抗にすべて吸収されます。 左向きの電磁波が左端で反射して右向きの電磁波になりそれがすべて抵抗で吸収されるまでパルスは続きます。 よってパルス幅は電磁波がケーブルを往復時間する時間です。

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