MontyHall

モンティ・ホール問題 †

(モンティホールジレンマ)

詳細は、Wikipediaなどの説明を読んでください。

ここでは、理解の一助になるよう、「モンティ」と「クイズミリオネアのフィフティ・フィフティ(最終的に2拓になる)」で違いを明確にする。

両方とも開ける(ハズレを示す)人は答えは知っており、答えを先に明示することは無い。

解答 †

P(A)=P(B)=P(C)=1/3

SBC：回答者がBを選択したときに、司会者がCのドアを開ける確率 (回答者が選択したものや、当たりのドアは開けることができない)

P(SBC|A)=1
P(SBC|B)=1/2 (A or C)
P(SBC|C)=0

「最初にBを選択し、かつ司会者がCのドアを開けたときにAが当たりの確率」を求める。 ベイズの定理を用いる。

P(A|SBC)＝P(A)×P(SBC|A)÷[Σ{(P(A)×P(SBC|A)＋(P(B)×P(SBC|B)＋ (P(C)×P(SBC|C)}]
P(A|SBC)＝1/3×1÷[Σ{1/3×1＋1/3×1/2＋1/3×0}]
P(A|SBC)＝1/3÷[Σ{1/3＋1/6}]
P(A|SBC)＝1/3÷1/2
P(A|SBC)＝2/3

「最初にBを選択し、かつ司会者がCのドアを開けたときにBが当たりの確率」を求める。

P(A|SBC)＝P(B)×P(SBC|B)÷[Σ{(P(A)×P(SBC|A)＋(P(B)×P(SBC|B)＋ (P(C)×P(SBC|C)}]
P(A|SBC)＝1/3×1/2÷[Σ{1/3×1＋1/3×1/2＋1/3×0}]
P(A|SBC)＝1/6÷[Σ{1/3＋1/6}]
P(A|SBC)＝1/6÷1/2
P(B|SBC)＝1/3

「最初にBを選択し、かつ司会者がCのドアを開けたときにCが当たりの確率」を求める。

P(A|SBC)＝P(B)×P(SBC|C)÷[Σ{(P(A)×P(SBC|A)＋(P(B)×P(SBC|B)＋ (P(C)×P(SBC|C)}]
P(A|SBC)＝1/3×0÷[Σ{1/3×1＋1/3×1/2＋1/3×0}]
P(A|SBC)＝0÷[Σ{1/3＋1/6}]
P(A|SBC)＝0÷1/2
P(B|SBC)＝0

手書きメモ(PDF)

モンティ・ホール問題解答.pdf

ミリオネアのフィフティ・フィフティとの違い †

SBC：回答者がBを選択したときに、司会者がCのドアを開ける確率 (ミリオネアの場合、回答者の選択に関わらず、答えが外れていれば開ける(外れを見せる)可能性がある。モンティの場合は、開けることが絶対無い。)

P(SBC|A)=1/2 (A or B)
P(SBC|B)=1/2 (A or C)
P(SBC|C)=0

「最初にBを選択し、司会者がCのドアを開けたときにAが当たりの確率」を求める。 ベイズの定理を用いる。

P(A|SBC)＝P(A)×P(SBC|A)÷[Σ{(P(A)×P(SBC|A)＋(P(B)×P(SBC|B)＋ (P(C)×P(SBC|C)}]
P(A|SBC)＝1/3×1/2÷[Σ{1/3×1/2＋1/3×1/2＋1/3×0}]
P(A|SBC)＝1/6÷[Σ{1/6＋1/6}]
P(A|SBC)＝1/6÷1/3
P(A|SBC)＝1/2

最初にAを選んだ時に、Bのドアが当たりの場合に、Cが開かれる確率。

重要なこと †

ドアが2択になった経緯を知っているか知らないかの情報?の差がドアの評価に影響している。

情報とは、推測・予測・シミュレーションとは、そういったものを考える際のテーマとしても面白い。

参考 †

Wikipediaより引用 †

• 裏の人はどれに当たりが入っているか知っている
• ルールをプレイヤーが知っている という前提が重要。

• http://www.yomiuri.co.jp/komachi/reader/200504/2005041900016.htm
• http://d.hatena.ne.jp/ona/20041110
• http://www.shiozawa.net/fukuzatsukei/monti_hall.html

シミュレータ †

• Monty Hall Dilemma
• http://www.geocities.jp/wepon_bafu/monty_hole_dilemma.html

1/2の考え †

とあるページより。

１／２です †

http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2005/0419/037826.htm?o=0&p=1

条件付き確率の定義

P(Y|X)=P(X∩Y)/P(X)

悩んだらパターンを書き出してみましょう。 はずれの扉をＹ，Ｚと仮定します。 私が当たりの扉を選んだ場合、司会者はＹとＺのいずれかを開ける組み合わせがあります。 私がはずれの扉を選んだ場合、司会者が開ける扉は開いていない方の扉です。 書き出してみると…。

当，Ｙ，Ｚ
私，司，−
私，−，司
−，私，司
−，司，私

見て解る通り、司会者が選んだ後に扉を変えても、当たりと外れの扉を引く組み合わせは同数あります。 つまり、確率は１／２なのです。

【つぶやく埴輪】さんにツッコミ †

http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2005/0419/037826.htm?o=0&p=3

組み合わせの問題で、 「結果の組み合わせの“種類”の総数」 にのみ注目することは危険ですよ。

例えば、「宇宙人が居る確率は？」という質問に対して、 結果を書き出して見ると・・・

１．宇宙人は居る ２．宇宙人は居ない

の二通りなので、『宇宙人が居る確率は二分の一』。 と言う解答をなさるのでしょうか？

上記の確率はわかりにくいので、条件を替えてみます。

「あなたが今日中に１億円を手に入れる確率は？」 結果を書き出して見ると・・・

１．今日中に１億円手に入れる。 ２．今日中に１億円手に入れない。

の二通りなので、『今日中に１億円を手に入れる確率は二分の一』。 と言う解答をなさるのでしょうか？　・・・そんなまさか。。。

「全ての事象が“同様に確からしい”時」にのみ、 ある事象の起こる確率＝ある事象の種類の総数÷全ての事象の種類の総数 となります。しかし、今回はそうではないでしょう。

ベイズ理論とモンティ・ホール問題 †

http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/bayes.shtml

http://momokun.no-blog.jp/betdiary/2005/08/post_a81c.html

もちろん、ベイズの定理で計算することも可能です。というより本来ベイズを使うべき問題ですね。 自分があけたドアをA、司会者があけたドアをB、もうひとつをCとしましょう。司会者がBを開けるのは、「Aが当たりで司会者がBとCのうちBを選んだとき（確率は(1/3)*(1/2)=1/6)」か、「Cが当たりのとき（このとき必然的に司会者はBをあけます。確率は1/3）」のどちらか。したがってAが当たりの確率は、1/6の確率と1/3の確率のうち、1/6であった確率なんで、 (1/6)/(1/6+1/3)=1/3 ですね。

http://blog.goo.ne.jp/neoxenakis/m/200503

本問では、解答者は扉Aを選んだとして、以下では次の記号を使う。 D:司会者が扉Cを選び、はずれる事象、A:扉Aが当たりである事象、B:扉Bが当たりである事象、C:扉Cが当たりである事象、である。

まず、一般的に

1. 扉Aが当たりのとき。司会者の選択肢BかCのうち、司会者がCを確率xで開けるとする。とすると、p(D｜A)=x.
2. 扉Bが当たりのとき。司会者の選択肢はCのみで、p(D｜B)=1.
3. 扉Cが当たりのとき。司会者の選択肢はBのみで、p(D｜C)=0. これより p(A｜D)=p(A)p(D｜A)/ {p(A)p(D｜A)+p(B)p(D｜B)+p(C)p(D｜C)}=1/3・x / {1/3・x+1/3・1+1/3・0} = x/9 / (1+x)/9 = x/(1+x)

事後的に観てＡがはずれであるか、または、司会者が扉Ｂ、Ｃのいずれを選ぶか決まっていない場合、司会者がＣの扉を選ぶ確率を２分の１とすると、x=1/2になり、p(A｜D)=x/(1+x)=1/2/(1+1/2)=1/3であるから、p(A｜B)の余事象はp(B｜D)=2/3となるので、Ｂの扉に変えた方が有利といえる。

この問題は、直感に論理がそぐわない場合の例として引き合いに出されることが多いという。

リンク †

• 確率?
• 条件付き確率
• 情報?
• ベイズ理論?
• 直感と論理?
• ミリオネア?