剛体の力学

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剛体の角運動を多質点系の全角運動量Lとして、定数である慣性モーメントを抽出すると、

$L=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r_{k}*p_{k}=\sum_{k=1}^{n}r_{k}*m_{k}r_{k}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}m_{k}(r_{k}*r_{k}^{\prime})$

ここで $\omega*r_{k}=r_{k}^{\prime}$ となるので

$L=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}\{r_{k}*(\omega*r_{k})\}$ となる

公式ベクトル三重積より

$r_{k}*(\omega*r_{k})=(r_{k}\cdot\,r_{k})\omega-(r_{k}\cdot\omega)r_{k}$ 、 $||r_{k}||^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$=\begin{pmatrix}x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_{x}\\\omega_{y}\\\omega_{z}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_{k}\omega_{x}+y_{k}\omega_{y}+z_{k}\omega_{z}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{k}\\y_{k}\\z_{k}\end{pmatrix}$

全角運動量Lは

$L=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}\begin{pmatrix}\\(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})\omega_{x}~&~-x_{k}y_{k}\omega_{y}~&~~~~-z_{k}x_{k}\omega_{z}\\\\-x_{k}y_{k}\omega_{x}~&~~~+(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})\omega_{y}~&~-y_{k}z_{k}\omega_{z}\\\\-z_{k}x_{k}\omega_{x}~&~~~-y_{k}z_{k}\omega_{y}~&~~~~~+(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})\omega_{z}\\\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}\\\end{pmatrix}$

更に $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})=I_{x}$ 、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})=I_{y}$ 、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=I_{z}$ 、

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}x_{k}y_{k}=I_{xy}$ 、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}y_{k}z_{k}=I_{yz}$ 、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_{k}z_{k}x_{k}=I_{zx}$ とすると

$L=\begin{pmatrix}\\I_{x}~&~-I_{xy}~&~-I_{zx}\\\\-I_{xy}~&~I_{y}~&~-I_{yz}\\\\-I_{zx}~&~-I_{yz}~&~I_{z}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_{x}\\~\omega_{y}\\~\omega_{z}~\end{pmatrix}$

とまとめられる。上記の３＊３の行列を慣性テンソルと呼び、

$I_{x}I_{y}I_{z}$ を慣性モーメント、他を慣性乗積と呼びます。

慣性乗積は回転軸を傾ける傾向を表しています。

慣性テンソルを対角化した場合、対角行列は主慣性モーメント、固有ベクトルを慣性主軸といいます。

求まった主慣性モーメントは中心点Oに対する剛体固有の量として得られる。

[ここで求められる慣性主軸はデカルト座標上で直交しない場合があるだろう…。]

●回転しながら水平面に衝突する剛体

球以外の剛体は衝突面が摩擦の無い場合でも角速度が変化します。

剛体の質量をmとすると重心の並進運動方程式は

$F=m\displaystyle\frac{dv}{dt}$

衝突している時間 $\Delta\,T=t_{2}-t_{1}$ で積分すると力積

$J[=F\Delta\,T]=m(v^{\prime}-v)$ ①

剛体の重心から衝突点までのベクトルをrとする。

$r\displaystyle\times\,F=I\frac{d\omega}{dt}$

これを積分すると

$r\times\,J[=r\times\,F\Delta\,T]=I(\omega^{\prime}-\omega)$ ②

が力角積になります。

剛体の衝突点の合成速度は

衝突前： $v_{p}=v+\omega\times\,r$ ③

衝突後: $v_{p}^{\prime}=v^{\prime}+\omega^{\prime}\times\,r$ ④

合成速度の衝突後の法線成分は、はね返り係数を用いると

$n\cdot\,v_{p}^{\prime}=-e\,n\cdot\,v_{p}$

この式の左辺 $v_{p}^{\prime}$ に④を用いて、①から $v^{\prime}=\displaystyle\frac{J}{m}+v,$ ②から $\omega^{\prime}=I^{-1}(r\times\,J)+\omega$

$n\displaystyle\cdot\{\frac{J}{m}+v+(I^{-1}(r\times\,J)+\omega)\times\,r\}=-e\,n\cdot\,v_{p}$

③から $\omega\times\,r=v_{p}-v$

力積Jは法線方向のみに働いているのでnjとおき、n $\cdot$ n=1から

$j=\displaystyle\frac{-(e+1)n\cdot\,v_{p}}{\frac{1}{m}+n\cdot\{(I^{-1}(r\times\,n))\times\,r\}}$

衝突後の重心速度と角速度は

$v^{\prime}=v+\displaystyle\frac{nj}{m}$

$\omega^{\prime}=\omega+I^{-1}(r\times\,n)j$

と求まる。

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