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行列のべき乗、ケーリー・ハミルトンとジョルダン標準

  • ケーリー・ハミルトンの定理

    正方行列Aの特性多項式ΦA(λ)に対してΦA(A)=Oになる。

    (λは行列の固有値なので各々の要素が0になるようになっている。)

    先ず正方行列Aを対角化します。

    特性多項式を求めます。

    \phi\,A(A)=\det(A)=A^{t}+c_{t-1}A^{t-1}\cdots+c_1A^{1}+c_0I=O

    これから最高階次数項との等式に変形します。

    A^{t}=-c_{t-1}A^{t-1}\cdots-c_1A^{1}-c_0I

    行列のべき乗式を特性多項式の最高階次数項で分解します。

    A^{n}=A^{t}A^{t}\cdots\,A^{k}

    (k=n%t)

    低次数化したべき乗式から再び最高階次数項nが出来た場合、低次数化を繰り返します。

  • ジョルダン標準形

    \phi\,A(\lambda)=O

    先ず、特性方程式解の固有値を求める。

    重解である固有値については、固有ベクトルの本数nを求める。

    n=dimKer(A-λI)=行列の次数-rank(A-λI)

    次に系列を組み立てます。

    Ki\eq\,dimKer{(A-\lambda\,I)^{i}}

    Ki=nになるまで求めます。

    この系列から多重度数n本の一般化固有ベクトルPnを求めます。

    尚、ゼロベクトルや線形従属にならないように計算を試行する必要があります。

    ジョルダン細胞のべき乗計算は

    B^{t}=(\lambda\,I+Z)^{t}

    (Z=B-\lambda\,I)

    B_i^{t}=\begin{pmatrix}\\~\lambda^{t}~&~t\cdot\lambda^{t-1}~&~{}_t{\rm~C}_2\cdot\lambda^{t-2}~&~\cdots~&~{}_t{\rm~C}_k\cdot\lambda^{t-k}\\\\~0~~~~~~~~~~~&~\lambda^{t}~~~~~~~~~&~t\cdot\lambda^{t-1}~~~~~~~~~~~~~&~{}_t{\rm~C}_2\cdot\lambda^{t-2}~&~\cdots\\\\~0~~~~~~~~~~~&~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&~\lambda^{t}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&~t\cdot\lambda^{t-1}~&~\cdots\\\\~\cdots~~~~~~&~\cdots~~~~~~~~~~~~~~&~\cdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&~\cdots~&~\cdots\\\\~0~~~~~~~~~~~&~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&~0~~~~~~&~\lambda^{t}\\\\\end{pmatrix}

    よってジョルダン標準形のべき乗式は

    J^{n}=\begin{pmatrix}\\~B_1^{t_1}\,\,~&~0~~~~~~~~~~~&~\cdots~~~~~~&~0\\\\~0~~~~~~~~~~~&~\,\,B_2^{t_2}~&~\cdots~~~~~~&~0\\\\~0~~~~~~~~~~~&~0~~~~~~~~~~~&~\cdots\,\,~~&~0\\\\~\cdots~~~~~~&~\cdots~~~~~~&~\cdots\,\,~~&~\cdots~\\\\~0~~~~~~~~~~~&~0~~~~~~~~~~~&~\cdots~~~~~~&~\,\,B_i^{t_i}\\\\\end{pmatrix}

    のようになります。

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