国試対策/苦手な計算問題克服しちゃうぜ～/合成インピーダンス編

A-4　R=3[Ω]、XC1=5[Ω]、XC2=20[Ω]。合成インピーダンスを計算する問題です。XC1 = 1/(ωC1), XC2 = 1/(ωC2)。（式が長くなるのでω=2πfとおいた。）C1 と C2 を並列につないだときの合成容量 C は C = C1 + C2。そのときのリアクタンス XC は XC = 1/(ωC) = 1/(ω(C1+C2)) = 1/(1/XC1+1/XC2) （ωC1=1/XC1, ωC2=1/XC2 より）となって、つまり抵抗の並列計算と同じになります。数字を当てはめて解くと XC = 1 / (1/5 + 1/20) = 1 / (4/20 + 1/20)= 1 / (5/20) = 20/5 = 4[Ω]。抵抗とコンデンサの直列接続の合成インピーダンス Z は Z = √(R^2 + XC^2)。数字を当てはめて解くと Z = √(3^2 + 4^2) = 5[Ω]。

IZ408 (2002-08)
http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200208/2ama-kogaku-200208.pdf http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200208/2ama-kogaku-kai-200208.pdf

A-4　コイルとコンデンサを直列に繋いだときのリアクタンスの周波数特性グラフを求める問題。XL=2πfL、XC=1/(2πfC) と俗に暗記しますが、大きさだけでなくて、位相のずれ方（90度進むか遅れるか）をプラスマイナスの符号で表すと、XL=2πfL, XC=-1/(2πfC) と表されます。教科書によってこのあたりの表記方法がまちまちなため、学習者が混乱する原因のひとつになっています。さて、コイルとコンデンサの合成リアクタンスを X とすると、X = XL + XC = 2πfL - 1/(2πfC) となります。つまり 2πfL > 1/(2πfC) なら正，2πfL < 1/(2πfC) なら負、ということです。周波数 f が大きくなると2πfL は増加し、1/(2πfC) は減少します。よって、 2πfL = 1/(2πfC) すなわち X = 0 となるポイントをはさんで，周波数が小さい時負、大きいとき正となるようなグラフを選べばいいわけです。正解は３番。

IZ412 (2002-12)
http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200212/2ama-kogaku-200212.pdf http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200212/2ama-kogaku-kai-200212.pdf

A-4　コンデンサ C と抵抗 R の両端の電圧 VC, VR を求める問題。 XC=6[Ω]、R=8[Ω]、V=50[V]が与えられている。抵抗同士の直列接続のように単純に分圧で考えてはいけないよ、というのがポイント。まず C と R の合成インピーダンス Z を求めて、回路に流れる電流 I を求めて、最後にVC, VR を計算することになります。 VC + VR = V にはならないので注意が必要です。 Z = √(R^2 + XC^2) = √(6^2 + 8^2) = √(100) = 10[Ω]。したがって I = V/Z = 50/10 = 5[A]。 VC = I XC = 5 x 6 = 30[V]．VR = I R = 5 x 8 = 40[V]。

IZ504 (2003-04)
http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200304/2ama-kogaku-200304.pdf http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200304/2ama-kogaku-kai-200304.pdf

B-2　(1) この回路の合成インピーダンスの大きさを Z とすると、 Z=［√(R^2 + (ωL-1/(ωC))^2)］で表され、回路が共振すると［ωL-1/(ωC)］=0となり、Z の値は［最小］になる。
(2) この回路の共振周波数を f0 とし、共振角周波数をω0とすると、ω0=［1/√(LC)］及び f0 = ［1/(2π√(LC))］で表される。
直列共振回路の基礎知識を問う問題。(2) で ω0 = 1/√(LC) を覚えている人なんていないでしょうね。f0 = 1/(2π√(LC)) と ω0 = 2πf0 から導くのが自然でしょう。

IZ508 (2003-08)
http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200308/2ama-kogaku-200308.pdf http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200308/2ama-kogaku-kai-200308.pdf

A-4　Z = √(R^2 + (XL-XC)^2) に数字を入れて解く問題。 R=12、XL=34、XC=18。XL - XC = 34 - 18 = 16。 Z = √(12^2 + 16^2) = √(144 + 256)= √(400) = 20。

IZ512 (2003-12)

（該当問題ありません！）

IZ604 (2004-04)
http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200404/2ama-kogaku-200404.pdf http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200404/2ama-kogaku-kai-200404.pdf

A-3　IZ404 (2002-04)のA-4と同一問題（数値違い）。
XC =1 / (1/XC1 + 1/XC2) = XC = 1 / (1/12 + 1/24) = 1 / (2/24 + 1/24)= 1 / (3/24) = 24/3 = 8[Ω]。抵抗とコンデンサの直列接続の合成インピーダンス Z は Z = √(R^2 + XC^2)。数字を当てはめて解くと Z = √(6^2 + 8^2) = 10[Ω]。

A-4　(1) 回路が電源の周波数に共振したとき、回路のリアクタンス分は［零］となり、回路全体を流れる電流 Idot(Iの上に点)は，［最大］となる。
(2) コイル L のリアクタンスの大きさがコンデンサ C のリアクタンスの大きさより小さいとき、電流 Idot の位相は，電源の電圧 Edot より［進む］。
Idot, Edot はそれぞれ、I と E の上に点が打ってあることを表わします。こう書いて、複素数表記だよという意味になります、って、それ２アマの範囲越えてるやんｗ。どうも記号使いが一定してないように思うのは私だけ？

（以下作成中）

１アマの過去問を１アマ的解法で解く †

（作成中）

２アマの過去問を１アマ的解法で解く †

IZ404 (2002-04)
http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200204/2ama-kogaku-200204.pdf http://www.yuushirai.jp/shirai/Licence/Exam/mon/2-ama/200204/2ama-kogaku-kai-200204.pdf

A-4　R=3[Ω]、XC1=5[Ω]、XC2=20[Ω]。合成インピーダンスを計算する問題。複素数表記で書き直せば R=3[Ω]、XC1=-j5[Ω]、 XC2=-j20[Ω]。XC1 // XC2 = 1 / (1/(-j5) + 1/(-j20)) = 1 / (4/(-j20) + 1/(-j20)) = 1 / (5/(-j20)) = (-j20) / 5 = -j4。よって Z = R + XC1 // XC2 = 3 - j4。|Z|= √(3^2 + 4^2) = 5[Ω]。

（以下作成中）

読み物 †

正弦波（サイン波）と円の関係

平面の上の半径１の円の上を同じスピードでぐるぐる回る人を考える。
（スピードは単位時間あたりの角度で表せる＝角速度。）
スタート地点を決めておこう：（１，０）。
Ｘ軸のほうからみて，横の変化（Ｙ軸上の変化）に注目。
０→１→０→－１→０→…を繰り返す。この動きをＹ軸に、時間（＝角度）をＸ軸にしてグラフを書くとおなじみのサインカーブ。

位相を理解するために

ピタゴラスイッチのアルゴリズム行進を思い浮かべる。
８つの動作が１セットで繰り返し。
隣り合う二人の位相は４５度だけずれている。

同じオームなのになぜ単純に足せない？抵抗とリアクタンス

交流回路における「電気を通しにくくする要因」が抵抗とリアクタンス。
直流回路では抵抗だけを考えればよかったが、交流回路では、抵抗とは別の原因で「電気の通しにくさ」が発生する。それがリアクタンス。

リアクタンスは電気や磁気の基本性質から生じるとても本質的なもの。超伝導で抵抗をゼロにできてもリアクタンスは消せない。
リアクタンスは「電気を通しにくくする」がそこで「電力は消費されない」。

抵抗とリアクタンスは本質的に違うものなのでそのままでは足せない。ただし「電気の通しにくさ」だけに注目したときは、電圧と電流の関係なので、オームの単位で表されるということ。

（以下作成中）