I - zampona

演習問題2(自習用) †

問8 †

(1)
$S_n:=\sum_{n=1}^N\;2^{-n}f(na)$
とする。 $N\to\infty$ の時、 $S_N$ が収束することを言えばよい。
そのために、{ $S_N$ }が有界な単調列であることを示そう。

単調性 †

$S_{N+1}-S_N=\sum_{n=1}^{N+1}2^{-n}f(na)-\sum_{n=1}^{N}2^{-n}f(na)$

$=2^{-N+1}f((N+1)a)\geq\,0$

∵ $2^{-N+1}\ge\,0$ 、 $f((N+1)a)$ よりOK。

有界性 †

$S_N=\sum_{n=1}^{N}2^{-n}f(na)\leq\sum_{n=1}^{N}2^{-n}C=C\sum_{n=1}^{N}2^{-n}$ $=C\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^N}\right)}{1-\frac{1}{2}}=C\left(1-\frac{1}{2^N}\right)\le\,C\:(\forall\,N\in\mathbb{N})$ よりOK。
以上より、{ $S_N$ }は有界な単調列だから、収束する。

これにより、任意の $x\in\mathbb{R}$ で、 $g\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}f(nx)$ が定義できることが保証された。

(2)
仮定より、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して、 $\lim_{x\!\to\;na+0}f(x)$ が収束するので、 $P_{na+0}:=\:\lim_{x\to\;na+0}\:f(x)$ と置いておく。
$0\geq\;f(x)\geq\;C(\forall\;x\in\mathbb{R})$ より、 $0\geq\;P_{na+0}\geq\;C(\forall\;n\in\mathbb{N})$ である。
示すべき式の右辺を、
$M:=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{-n}\lim_{x\to\;na+0}f(x)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}P_{na+0}$ と置く。

注

$\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}P_{na+0}$ は確かに収束している。

(∵) $T_N=\sum_{n=1}^{N}2^{-n}P_{na+0}$ と置くと、

$T_{N+1}-T_{N}=2^{-N+1}P_{(N+1)a+0}\geq\;0$ より、{ $T_N$ }は単調かつ、

$T_N\leq\sum_{n=1}^{N}2^{-n}C<C$ より有界。

目的は、
(☆)： $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall{}x\in\mathbb{R},0<x-a<\delta\Rightarrow|g(x)-M|<\varepsilon$

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