NativeMeta

N次元球の体積

統計力学

任意の次元の超立方と超球の体積について、以下のような式が成り立つとする。

C_nr^n<V_n

Cnは三次元の場合は\frac{4}{3}\pi、二次元は\pi、一次元は1

このCnをあるn重積分から引き出して一般化する。

I_{n}=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\ldots\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)}dx_1dx_2{\ldots}dx_n

ガウス積分の公式\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} から

I_n=\pi^{\frac{n}{2}}となる。

また極座標に変換して解くと、

I_n=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}S_ndr

Snは表面積なので、C_nr^n から

I_n=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}nC_nr^{n-1}dr

I_n=nC_n\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}r^{n-1}dr

変数変換t=r^2 を行う

I_n=nC_n\int_0^{\infty}e^{-t}{\cdot}t^{\frac{n-1}{2}}\cdot\frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt

I_n=\frac{n}{2}C_n\int_0^{\infty}e^{-t}t^{\frac{n}{2}-1}dt

ガンマ関数\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{\alpha-1}dt から

I_n=\frac{n}{2}C_n\Gamma(\frac{n}{2})

以上より、

C_n=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{n\Gamma(\frac{n}{2})}

よってN次元球の体積は

\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{n\Gamma(\frac{n}{2})}r^n

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

最新の20件

2013-05-02 2013-03-04 2012-08-13 2012-05-13 2012-05-12 2012-05-10 2012-05-03 2012-04-25 2009-07-05

今日の7件

  • counter: 1043
  • today: 2
  • yesterday: 0
  • online: 2