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2009-02-22

近似曲線

\displaystyle\dot\mathfrak{f}=\sum_{i=1}^{np-2}[R_{i}R_{i}-2\displaystyle\sum_{j=1}^{n-2}N_{j,m}(\overline{t_{i}})R_{i}q_{j}+\{\sum_{j=1}^{n-2}N_{j,m}(\overline{t_{i}})q_{j}\}^{2}]

ここでjをkにして展開

\mathfrak{f}を最小化するために、

\displaystyle\frac{\partial\mathfrak{f}}{\partial\mathfrak{q}_{k}}=\sum_{i=1}^{np-2}\{-2N_{k,m}(\overline{t_{i}})R_{i}+2N_{k,m}(\overline{t_{i}})\sum_{j=1}^{n-2}N_{j,m}(\overline{t_{i}})q_{j}\}=0\,\,\,k=1,...,n-2

ここで近傍点P_{i}とパラメータ\overline{t_{i}}における曲線上の点P(\overline{t_{i}})とのノルムの最小二乗近似なので \displaystyle\sum_{j=1}^{n-2}N_{j,m}(\overline{t_{i}})q_{j}の部分はP(\overline{t_{i}})です。

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