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波動方程式

カテゴリとしては偏微分方程式にも含まれるが、ここでまとめておきます。

  • 一次元波動方程式

    \displaystyle\frac{\partial^{2}u}{\partial\,t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}��

    a^{2}=\displaystyle\frac{T}{\rho}(T張力、\rho弦の線密度)

    弦の微小部分のニュートン運動方程式を立てる

    F=m\cdot\,a(*)

    鉛直方向をuとすると

    m\displaystyle\cdot\,a=\Delta\,x\cdot\rho\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial\,t^{2}}��

    (*)左辺T\displaystyle\cdot\,sin(\theta+\Delta\theta)-Tsin\theta

    ≒Ttan(\theta+\Delta\theta)-Ttan\theta=T\cdot(\frac{\partial\,u}{\partial\,x})_{x+\Delta\,x}-T(\frac{\partial\,u}{\partial\,x})=T\cdot\{(\frac{\partial\,u}{\partial\,x})_{x+\Delta\,x}-(\frac{\partial\,u}{\partial\,x})_{x}\}=T\cdot\,dx\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}��

    �△鉢�を(*)に代入して

    T\displaystyle\cdot\,dx\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}=\Delta\,x\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial\,t^{2}}

    両辺を\Delta\,x\cdot\rhoで割って

    \displaystyle\frac{\partial^{2}u}{\partial\,t^{2}}=\frac{T}{\rho}\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial\,x^{2}}で�，�求まる。

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