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二階同次線形微分方程式の級数解法

  • 二階同次線形微分方程式

y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0 �，竜蘓�解法

xP(x),\,x^{2}Q(x)がx=0で解析的な場合、次のように展開できる。

\,xP(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots

\,x^{2}Q(x)=q_{0}+q_{1}x+q_{2}x^{2}+\cdots

よって

P(x)=\displaystyle\,\frac{p_{0}}{x}+p_{1}+p_{2}x+\cdots\,��

Q(x)=\displaystyle\,\frac{q_{0}}{x^{2}}+\frac{q_{1}}{x}+q_{2}+\cdots\,��

このとき微分方程式�，�フロベニウス級数を持つとすると

y=x^{\lambda}\displaystyle\,\sum_{x=0}^{\infty}a_{k}x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+\lambda}=a_{0}x^{\lambda+0}+a_{1}x^{\lambda+1}+a_{2}x^{\lambda+2}+\cdots ��

これをxで順に微分すると

y^{\prime}=\displaystyle\,\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)a_{k}x^{k+\lambda-1}=\lambda\,a_{0}x^{\lambda-1}+(\lambda+1)a_{1}x^{\lambda}+\cdots\,��

y^{\prime\prime}=\displaystyle\,\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)(k+\lambda-1)a_{k}x^{k+\lambda-2}=\lambda(\lambda-1)a_{0}x^{\lambda-2}+(\lambda+1)\lambda\,a_{1}x^{\lambda-1}\cdots\,��

�↓��きキΔ鬮，紡綟�すると

\{\lambda(\lambda-1)a_{0}x^{\lambda-2}+(\lambda+1)\lambda\,a_{1}x^{\lambda-1}+\cdots\}

+(\displaystyle\,\frac{p_{0}}{x}+p_{1}+p_{2}x+\cdots)\{\lambda\,a_{0}x^{\lambda-1}+(\lambda+1)a_{1}x^{\lambda}+\cdots\}

+(\displaystyle\,\frac{q_{0}}{x^{2}}+\frac{q_{1}}{x}+q2+\cdots)\{a_{0}x^{\lambda}+a_{1}x^{\lambda+1}+\cdots\}=0

これらはxの恒等式になるが、

最低次数項はべき級数近似において、一次近似であり、ベースとなっているので、

最低次数項から順次解いていく。

\{\lambda(\lambda-1)+p_{0}\lambda+q_{0}\}a_{0},\,a_{0}\neq\,0から

\lambda^{2}+(p_{0}-1)\lambda+q_{0}=0

これを決定方程式と呼ぶ。

\lambdaの解を求めて\lambda_{1},\lambda_{2}を得る。

\lambda_{1}\neq\lambda_{2}かつ\lambda_{1}.\lambda_{2}\neq(整数)のとき、一次独立な解

y_{1}=x^{\lambda_{1}}\displaystyle\,\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k},\,y_{2}=x^{\lambda_{2}}\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}

\lambda_{1}=\lambda_{2}かつ\lambda_{1}.\lambda_{2}=(整数)のとき、一次従属な解から

y_{1}=x^{\lambda_{1}}\displaystyle\,\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k},\,y_{2}=x^{\lambda_{2}}\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}+Cy_{1}\ln|x|

を得る。

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