完全流体

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完全流体

計測の方法は定点観測と追跡観測で、前者はオイラー法、後者はラグランジュ法と呼ばれる。

運動法則を質点系から連続体に拡張してるようです。

隣接応力を求めることにより、他の連続体に外力を伝える。

ベクトル分解→ヘルムホルツ分解

ベクトル場V(x)の発散で出来る場s(x)

$\nabla\cdot\,V=s$ sはスカラ勾配

ベクトル場V(x)の回転で出来る場c(x)

$\nabla\times\,V=c$

このときベクトル場V(x)は $V=-\nabla\phi+\nabla\times\,A$

第一項、スカラー関数の勾配と第二項、ベクトル関数の回転の和で表される。

$\phi(x)$ はスカラーポテンシャル、 $\displaystyle\phi(x)=\frac{1}{4\pi}\int\frac{s(x^{\prime})}{|x-x^{\prime}|}dV^{\prime}$

$A(x)$ はベクトルポテンシャル、 $A(x)=\displaystyle\frac{1}{4\pi}\int\frac{c(x^{\prime})}{|x-x^{\prime}|}dV^{\prime}$

ヘルムホルツ分解式の第一項は流体の膨張度、第二項は渦度

第二項、任意の微小閉曲線で線積分

$\displaystyle\int_{L}V\cdot\,dx=\int_{s}(\nabla\times\,V)\cdot\,dS=\int_{s}c\cdot\,dS(=\Gamma)$

Sは微小閉曲線を境界とする任意の曲面

線積分の項は曲線全体に渡る速度の平均値と曲線の長さとの積になっている。

これは閉曲線に沿う旋回流の向きと大きさを表す。

この一周積分Γを循環という。

渦度方程式、渦度の時間発展を記述する。

$\displaystyle\frac{D\omega}{Dt}=\frac{\partial\omega}{\partial\,t}+(u\cdot\nabla)\omega$

$\,\,\,\,\,=(\displaystyle\omega\cdot\nabla)u-\omega(\nabla\cdot\,u)+\frac{1}{\rho^{2}}\nabla\rho\times\nabla\,p+\nabla\times\,F$

右辺の第一項は速度勾配による渦度の強度と方向の変化

第二項は流体の膨張、収縮による渦度強度の減少、増加

第三項は密度勾配と圧力勾配が平行でないとき現れるトルクによる渦度生成

第四項は外力のトルクによる渦度生成を表す。

●渦度方程式の導出

流体要素の運動方程式

$\displaystyle\rho\delta\,V\frac{Du}{Dt}=\int_{\delta\,S}P(n)dS+\rho\delta\,VF$

右辺の第一項は流体要素に作用する隣接応力

第二項は流体要素に作用する外力

隣接応力は一般に異方性を持たない。

より、応力は法線成分のみからなる。 $P(n)=-pN$

$\displaystyle\rho\delta\,V\frac{Du}{Dt}=\int_{\delta\,S}-pNdS+\rho\delta\,VF$

流体要素の運動方程式を体積積分に変換して、

$\displaystyle\rho\delta\,V\frac{Du}{Dt}=\int_{\delta\,V}-\nabla\,pdV+\rho\delta\,VF$

両辺を $\delta\,V$ で割る、積分量も同じ

$\displaystyle\rho\frac{Du}{Dt}=-\nabla\,p+\rho\,F$ 　オイラー方程式①

両辺を $\rho$ で割る

$\displaystyle\frac{Du}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\nabla\,p+F$

ラグランジュ微分 $\displaystyle\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial\,t}+(u\cdot\nabla)$ より

$\displaystyle\frac{\partial\,u}{\partial\,t}+(u\cdot\nabla)u=-\frac{1}{\rho}\nabla\,p+F$ 　オイラー方程式②

渦度方程式なので流体要素の運動方程式のオイラー表現の回転をとる。

オイラー方程式②の左辺第一項と右辺第二項が

渦度方程式

$\displaystyle\frac{D\omega}{Dt}=\frac{\partial\omega}{\partial\,t}+(u\cdot\nabla)\omega$

$\,\,\,\,=(\displaystyle\omega\cdot\nabla)u-\omega(\nabla\cdot\,u)+\frac{1}{\rho^{2}}\nabla\rho\times\nabla\,p+\nabla\times\,F$

中辺第一項と右辺第四項に対応する。

公式 $\nabla(A\cdot\,B)=(A\cdot\nabla)B+A\times(\nabla\times\,B)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B\cdot\nabla)A+B\times(\nabla\times\,A)$

$A=B=u$ とおくと

$\displaystyle\frac{1}{2}\nabla|u|^{2}=(u\cdot\nabla)u+u\times\omega$ を得、回転をとる

スカラ勾配の渦度は $\nabla\times\nabla\phi=0$ より

$\displaystyle\frac{1}{2}\nabla|u|^{2}=0$

右辺第一項 $(u\cdot\nabla)u$ の回転 $\nabla\times(u\cdot\nabla)\omega$

右辺第二項の回転 $\nabla\times(u\times\omega)=(\omega\cdot\nabla)u+u(\nabla\cdot\omega)-(u\cdot\nabla)\omega-\omega(\nabla\cdot\,u)$

渦の発散は $\nabla\cdot\omega=0$ より

関係式 $\nabla\times(u\cdot\nabla)\omega=(u\cdot\nabla)\omega-(\omega\cdot\nabla)u+\omega(\nabla\cdot\,u)$ を得る。

この関係式より、オイラー方程式②のrot式の左辺第二項が

渦度方程式の中辺第二項、右辺第一、第二項を与える。

最後に公式 $\nabla\times(\phi\,A)=\phi(\nabla\times\,A)+(\nabla\phi)\times\,A$

右辺第一項中 $\nabla\times\,A=\nabla\times\nabla\phi=0$ [ここおかしい要再考]

右辺第二項 $\nabla\phi\times\nabla\phi$

より、オイラー方程式②のrot式の右辺第一項が

渦度方程式の右辺第三項になる。

.

.

.

ベルヌーイの定理、圧力方程式

順圧変化、

流体の密度が圧力のみによる関数 $\rho=f(p)$ の場合、密度勾配と圧力勾配が常に一致するので"順圧変化"と呼ばれる。

非圧縮流、等温変化、断熱変化は順圧変化である。

圧力勾配を密度で割って

$\displaystyle\frac{1}{\rho}\nabla\,p=\nabla\,P$

オイラー方程式①に代入

$\displaystyle\frac{Du}{Dt}=-\nabla(P+\theta)$

Fを $\theta$ スカラーポテンシャルとしているので渦度が無い

このラグランジュ微分を時間と空間の偏微分に置き換えると

$\displaystyle\frac{\partial\,u}{\partial\,t}+(u\cdot\nabla)u=-\nabla(P+\theta)$

公式 $\nabla(A\cdot\,B)=(A\cdot\nabla)B+A\times(\nabla\times\,B)$

$(B\cdot\nabla)A+B\times(\nabla\times\,A)$

を使い、 $A=B=u$ とおき

$\nabla|u|^{2}=2(u\cdot\nabla)u+2u\times(\nabla\times\,u)$

$\nabla|u|^{2}=2(u\cdot\nabla)u+2(u\times\omega)$

$(u\displaystyle\cdot\nabla)u=-u\times\omega+\frac{1}{2}\nabla|u|^{2}$ より

順圧変化の偏微分式は

$\displaystyle\frac{\partial\,u}{\partial\,t}=u\times\omega-\nabla(\frac{1}{2}|u|^{2}+P+\theta)$

一般化されたベルヌーイの定理

渦無し流の場合、速度場はポテンシャル流で

$u=\nabla\phi$

この式を順圧変化の偏微分式に代入して渦度が0という前提から

$\displaystyle\nabla(\frac{\partial\phi}{\partial\,t}+\frac{1}{2}|u|^{2}+P+\theta)=0$

速度場u(x)の項が消えているので、この量は空間座標に依存しない　[要検証]

f(t)を時間の任意関数として

$\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial\,t}+\frac{1}{2}|u|^{2}+P+\theta=f(t)$

これを一般化されたベルヌーイの定理と言い、圧力方程式と呼ぶ。

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