ベッセル関数

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・ベッセル関数

$x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\alpha^{2})y=0$ ①

$y^{\prime\prime}+\displaystyle\frac{1}{x}y^{\prime}+(1-\frac{\alpha^{2}}{x^{2}})y=0$ から

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{x},\,Q(x)=(1-\frac{\alpha^{2}}{x^{2}})$ として

確定特異点 $xP(x)=1(=1+0*x+0*x^{2}+\cdots),\,x^{2}Q(x)=x^{2}-\alpha^{2}(=-\alpha^{2}+0*x+1*x^{2}+0*x^{3}+\cdots)$ から

フロベニウス級数は

$y=x^{\lambda}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+\lambda}=a_{0}x^{\lambda}+a_{1}x^{\lambda+1}+a_{2}x^{\lambda+2}+\cdots$ ②

微分していくと

$y^{\prime}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)a_{k}x^{k+\lambda-1}$ ③

$y^{\prime\prime}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)(k+\lambda-1)a_{k}x^{k+\lambda-2}$ ④

②③④を①に代入すると

$x^{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)(k+\lambda-1)a_{k}x^{k+\lambda-2}+x\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)a_{k}x^{k+\lambda-1}+(x^{2}-\alpha^{2})\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+\lambda}=0$ から

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)(k+\lambda-1)a_{k}x^{k+\lambda}+\sum_{k=0}^{\infty}(k+\lambda)a_{k}x^{k+\lambda}+\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+\lambda+2}-\sum_{k=0}^{\infty}\alpha^{2}a_{k}x^{k+\lambda}=0$

最初の項

$\displaystyle\lambda(\lambda-1)a_{0}x^{\lambda}+(\lambda+1)\lambda\,a_{1}x^{\lambda+1}+\sum_{k=2}^{\infty}(k+\lambda)(k+\lambda-1)a_{k}x^{k+\lambda}$

第二項

$\displaystyle\lambda\,a_{0}x^{\lambda}+(\lambda+1)a_{1}x^{\lambda+1}+\sum_{k=2}^{\infty}(k+\lambda)a_{k}x^{k+\lambda}$

第三項

$\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}a_{k-2}x^{k+\lambda}$

第四項

$\displaystyle\alpha^{2}a_{0}x^{\lambda}+\alpha^{2}a_{1}x^{\lambda+1}+\sum_{k=2}^{\infty}\alpha^{2}a_{k}x^{k+\lambda}$

これらをまとめて

$\displaystyle\{\lambda(\lambda-1)+\lambda-\alpha^{2}\}a_{0}x^{\lambda}+\{(\lambda+1)\lambda+\lambda+1-\alpha^{2}\}a_{1}x^{\lambda+1}+\sum_{k=2}^{\infty}\{(k+\lambda)(k+\lambda-1)a_{k}+(k+x)a_{k}+a_{k-2}-\alpha^{2}a_{k}\}x^{k+\lambda}=0$

$x$ の恒等式なので

$(\lambda^{2}-\alpha^{2})a_{0}=0$ ⑤

$\{(\lambda+1)^{2}-\alpha^{2}\}a_{1}=0$ ⑥

$(k+\lambda+\alpha)(k+\lambda-\alpha)a_{k}+a_{k-2}=0$ ⑦ $(k=2,3,4\cdots)$

⑤で $a_{0}\neq\,0$ より $\lambda^{2}-\alpha^{2}=0$

$\lambda=\pm\alpha$ これを⑥に代入

$\{(\pm\alpha+1)^{2}-\alpha^{2}\}a_{1}=0$

$(\pm\,2\alpha+1)a_{1}=0$

$a_{1}=0$ とする。

⑦より $a_{k}=-\displaystyle\frac{a_{k-2}}{(k+\lambda-\alpha)(k+\lambda+\alpha)}$ ⑧ $(k=2,3,4\cdots)$

これは一つ飛びの漸化式になっている。 $a_{1}=0$ とした為、⑧にk=3,5,7を代入すると、順次 $a_{3}=a_{5}=a_{7}=\cdots=0$ となる。

又 $a_{2},a_{4},a_{6}\cdots$ については(i) $\lambda=\alpha$ のときと(ii) $\lambda=-\alpha$ のときの二通りを調べる。

⑧について

(i) $\lambda=\alpha$ のときは $a_{k}=-\displaystyle\frac{a_{k-2}}{k(2\alpha+k)}$ ⑧'

$k=2$ のとき $a_{2}=-\displaystyle\frac{a_{0}}{2(2\alpha+2)}=-\frac{a_{0}}{2\cdot\,2(\alpha+1)}$

$\,k=4$ のとき $a_{4}=-\displaystyle\frac{a_{2}}{4(2\alpha+4)}=-\frac{1}{4\cdot\,2(\alpha+2)}\{-\frac{1}{2\cdot\,2(\alpha+1)}a_{0}\}=\frac{1}{2\cdot\,4*2^{2}\cdot(\alpha+1)(\alpha+2)}a_{0}$

$\,k=6$ のとき $a_{6}=-\displaystyle\frac{1}{6(2\alpha+6)}a_{4}=-\frac{1}{6\cdot\,2(\alpha+3)}\cdot\frac{1}{2\cdot\,4*2^{2}\cdot(\alpha+1)(\alpha+2)}a_{0}=-\frac{1}{2\cdot\,4\cdot\,6*2^{3}\cdot(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}a_{0}$ $\,a_{2k}=\displaystyle\frac{(-1)^{k}}{2\cdot\,4\cdot\,6\cdots(2k)*2^{k}\cdot(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\cdots(\alpha+k)}a_{0}$

よって $a_{2k}=\displaystyle\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}\cdot\,k!(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+k)}a_{0}$ ⑨ $(k=1,2,3\cdots)$

$\,y=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}x^{2k+\alpha}=a_{0}x^{\alpha}+a_{2}x^{2+\alpha}+a_{4}x^{4+\alpha}+\cdots$ ⑩基本解の一つ $y_{1}$ としておく

次にガンマ関数を使用して⑩をまとめる。 ⑨の様子から $a_{0}=\displaystyle\frac{1}{2^{\alpha}\cdot\Gamma(\alpha+1)}$ ⑪とおける。

$a_{2k}x^{2k+\alpha}=\displaystyle\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}\cdot\,k!(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+k)}\cdot\frac{1}{2^{\alpha}\cdot\Gamma(\alpha+1)}x^{2k+\alpha}$ $=\displaystyle\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(\alpha+1)(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+k)}\cdot\frac{x^{2k+\alpha}}{2^{2k+\alpha}}$

よって

$a_{2k}x^{2k+\alpha}=\displaystyle\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(\alpha+k+1)}(\frac{x}{2})^{2k+\alpha}$ ⑫を⑩に代入して $J_{a}(x)$ とおき

α次の第一種ベッセル関数は

$J_{a}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(\alpha+k+1)}(\frac{x}{2})^{2k+\alpha}$ ⑬収束半径は $\infty$ となります。

(ii) $\lambda=\alpha$ のときは $J_{-a}(x)$

(I)一般解は $y=C_{1}J_{a}(x)+C_{2}J_{-a}(x)\alpha\neq\,n(n=0,1,2\cdots),J_{n}(x),J_{-n}(x)$ は一次独立

(II)αが0以上の整数 $\alpha=n(n=0,1,2\cdots),J_{n}(x),J_{-n}(x)$ は一次従属

$\alpha=n$ (整数)で $\lambda=\alpha$ のとき

$J_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\Gamma(n+k+1)}(\frac{x}{2})^{2k+n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!(k+n)!}(\frac{x}{2})^{2k+n}$

$\lambda=-\alpha$ のとき

$J_{-n}(x)=\displaystyle\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!(k-n)!}(\frac{x}{2})^{2k-n}$ ここで $k=n+m$ とおく( $m=0,1,2\cdots$ )

$k<=n-1$ のときは $k-n<0$ となるので定義できない $k=n$ スタートにする

$=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{(m+n)!m!}(\frac{x}{2})^{2m+n}=(-1)^{n}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m!(m+n)!}(\frac{x}{2})^{2m+n}$

よって

$J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)$ となるので $J_{n}(x)$ と $J_{-n}(x)$ は一次従属と言えます。

$\alpha=n(n=0,1,2\cdots)x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-n^{2})y=0$ ①'の解 $J_{n}(x)$ と一次従属なもう一つの解

$y=u(x)\cdot\,J_{n}(x)$ ⑮

$y^{\prime}=u^{\prime}\cdot\,J_{n}+u\cdot\,J_{n}^{\prime}$ ⑯

$y^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}\cdot\,J_{n}+2u^{\prime}\cdot\,J_{n}^{\prime}+u\cdot\,J_{n}^{\prime\prime}$ ⑰

⑰⑯⑮を①'に代入して

$x^{2}(u^{\prime\prime}J_{n}+2u^{\prime}J_{n}^{\prime}+uJ_{n}^{\prime\prime})+x(u^{\prime}J_{n}+uJ_{n}^{\prime})+(x^{2}-n^{2})uJ_{n}=0$

$\{x^{2}J_{n}^{\prime\prime}+xJ_{n}^{\prime}+(x^{2}-n^{2})J_{n}\}u+x^{2}J_{n}u^{\prime\prime}+(2x^{2}J_{n}^{\prime}+xJ_{n})u^{\prime}=0$ 両辺を $x^{2}J_{n}$ で割って

$u^{\prime\prime}+(2\displaystyle\cdot\frac{J_{n}^{\prime}}{J_{n}}+\frac{1}{x})u^{\prime}=0$

$u^{\prime\prime}=-(2\displaystyle\cdot\frac{J_{n}^{\prime}}{J_{n}}+\frac{1}{x})u^{\prime}$ ここで $u^{\prime}=p$ とおくと

$p^{\prime}=-(2\displaystyle\frac{J_{n}^{\prime}}{J_{n}}+\frac{1}{x})p$ 変数分離形で

$\displaystyle\int\frac{1}{p}dp=-\int(2\frac{J_{n}^{\prime}}{J_{n}}+\frac{1}{x})dx$

$\ln|p|=-2\ln|J_{n}|-\ln|x|+C_{1}^{\prime}\ln\,C_{1}^{\prime\prime}$

$\displaystyle\ln|p|=\ln\frac{C_{1}^{\prime\prime}}{|x|J_{n}^{2}}$ より $p=\displaystyle\frac{C_{1}}{x\cdot\,J_{n}^{2}}(c_{1}=\pm\,C_{1}^{\prime\prime}=e^{C_{1}^{\prime}})$

$\displaystyle\frac{du}{dx}=\frac{C_{1}}{x\cdot\,J_{n}^{2}}$ 直接積分形にて

$u=\displaystyle\int\frac{C_{1}}{x\cdot\,J_{n}^{2}}dx+C_{2}$ ここで任意定数を $C_{1}=1,C_{2}=0$ とおいて

$u(x)=\displaystyle\int\frac{1}{x\{J_{n}(x)\}^{2}}dx$ ⑱を⑮に代入するとn次の第二種ベッセル関数

$Y_{n}(x)=J_{n}(x)\displaystyle\int\frac{1}{x\{J_{n}(x)\}^{2}}dx,(n=0,1,2\cdots)$

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